Sean espacios topológicos tales que hay una función que resulta ser un cociente. Entonces si es un espacio topológico y es una función que respeta el cociente
entonces existe una única función continua tal que
Demostración
...
Unicidad
...
La unicidad es trivial. está obligada a cumplir para todo . Como es sobreyectiva por ser cociente, esto determina completamente a .
Existencia
...
Se define la función . El hecho de que respete el cociente y que es sobreyectiva implica que esta función está bien definida. Solo queda ver que esta función es continua. Pero eso es inmediato del hecho de que es final por ser un cociente.
